ICELAND.PL :: Islandia - strona główna portalu ZANIM COŚ NAPISZESZ PRZECZYTAJ REGULAMIN   JEŚLI KTOŚ CIĘ OBRAŻA LUB ŁAMIE REGULAMIN, NIE DAJ SIĘ SPROWOKOWAĆ, NAPISZ DO ADMINA!  FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Rejestracja   Profil   Zaloguj  Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości    Matematyka - ciekawostki Idź do strony 1, 2, 3, 4, 5  Następny          Forum Islandia :: Forum ICELAND.PL Strona Główna -> Off-topic Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 1 Wrz 2005, 19:49    Temat postu: Matematyka - ciekawostki Co powiecie na takÄ ciekawostkę: PrzekÄ tna kwadratu o boku a ma długość aV2 (gdzie V oznacza pierwiastek). Gdyby do przeciwległych naroĹźy kwadratu iść po bokach a nie po przekÄ tnej, to droga wyniosłaby dokładnie 2a. A teraz zrĂłbmy takÄ krzywÄ Ĺ‚amanÄ , złoĹźonÄ z 4 odcinkĂłw kaĹźdy o długości 0,5a zgiętych pod kÄ tem prostym. Linia zaczyna się w jednym naroĹźu a kończy w tym na przeciw. Jeśli ktoś ma słabÄ wyobraĹşnie oto przepis: na jednym boku odkładamy odcinek o dł. 0,5a a potem skręcamy pod kÄ tem prostym w kierunku środka i po przejściu odcinka 0,5a znĂłw skręcamy pod kÄ tem 90 st. w tym samym kierunku co poprzednio, dochodzimy do nastepnego boku kwadratu i znĂłw mamy do przejścia 0,5a by dojść do naroĹźa połoĹźonego na przeciw tego z ktĂłrego wyszliśmy. Otrzymamy w ten sposĂłb krzywÄ , ktĂłra nadal ma długość 2a (8 odcinkĂłw po 0,25a kaĹźdy). JeĹźeli tÄ metodÄ połamiemy krzywÄ na odcinki 0,25a, to otrzymamy schodki, ktĂłre będÄ prowadzić od jednego do drugiego naroĹźa i znĂłw cała krzywa ma długość 2a. Gdy będziemy tak łamać krzywÄ w nieskończoność to ciÄ gle będzie ona miała długość 2a, ale przecieĹź w nieskończoności taka drobno połamana krzywa staje się po prostu przekÄ tnÄ , ktĂłra ma jednak długość aV2 I jak to wytłumaczyć? Powrót do góry Ronja Gość Wysłany: 1 Wrz 2005, 20:59    Temat postu: Re: Matematyka - ciekawostki OdĹźajer Egzegeta napisał: ale przecieĹź w nieskończoności taka drobno połamana krzywa staje się po prostu przekÄ tnÄ , Nie podpuszczaj PrzekÄ tna o ile mi wiadomo jest kawałkiem prostej, Ĺźadna krzywa sie niÄ stać nie moĹźe. Choć wcale się nie zdziwię, jak zaraz "udowodnisz", Ĺźe jednak moĹźe Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 1 Wrz 2005, 21:12    Temat postu: Krzywa Gdy schodki stajÄ się coraz mniejsze, to pole powierzchni pod "wypustkami" dÄ Ĺźy do zera, gdy ilość schodkĂłw dÄ Ĺźy do zera. Przy nieskończonej ilości schodkĂłw, krzywa staje się teoretycznie prostÄ . Problem tylko w tym, Ĺźe gdy idzie się od strony krzywej mamy długość 2a, a gdy wprost liczymy długość przekÄ tnej to wychodzi aV2. :krzywy: Powrót do góry Ronja Gość Wysłany: 1 Wrz 2005, 22:12    Temat postu: Re: Krzywa OdĹźajer Egzegeta napisał: Przy nieskończonej ilości schodkĂłw, krzywa staje się teoretycznie prostÄ . Ale przecieĹź my nie mamy krzywej o nieskończonej ilości schodkĂłw. (mamy nieskończonÄ ilośc krzywych o skończonej liczbie schodkĂłw i Ĺźadna z tych krzywych nie jest prostÄ ). Ps.Co ja tutaj robię w tym topicu?! MoĹźe jest na sali jakiś matematyk!!! :wink: Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 1 Wrz 2005, 22:44    Temat postu: Matematycy Chwilkę... jeĹźeli te schodki sÄ coraz mniejsze, to na drodze między jednym wierzchołkiem a drugim mieści ich się coraz więcej. Ilość odcinkĂłw podwaja się za kaĹźdym razem. Schodek robi się coraz mniejszy, ale za to wzrasta ilość schodkĂłw (coś jak fraktal). _ ..|_ .....|_ ........|_ ...........| Gdy tak będziemy robić coraz mniejsze schodki, to otrzymana krzywa będzie coraz bardziej zbliĹźona do prostej... RĂłwnieĹź pole trĂłjkÄ tnych "wypustek" zmniejsza się za kaĹźdym razem, co sugeruje, Ĺźe w nieskończoności wyniesie zero, czyli tyle ile wynosi pole powierzchni wypustek przekÄ tnej Ja nie znam rozwiÄ zania tej zagadki... Ale jest to ciekawy problem matematyczny _________________ CHCESZ WSPOMÓC FORUM ORAZ ICELAND.PL? WPŁAĆ DATEK! Ostatnio zmieniony przez O.E. dnia 2 Wrz 2005, 9:22, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Ronja Gość Wysłany: 2 Wrz 2005, 6:45    Temat postu: No niestety musisz sobie znaleźć kogoś mÄ drzejszego do dyskusji . Ja nie widzę problemu. PrzecieĹź ciÄ g długości łamanych schodkowych nie jest zbieĹźny do długości przekÄ tnej. Powrót do góry Ronja Gość Wysłany: 2 Wrz 2005, 7:27    Temat postu: Ale w gruncie rzeczy ciekawe jest to co piszesz, bo wlaśnie wykazałeś, Ĺźe jeśli ciÄ g łamanych dÄ Ĺźy do odcinka, to wcale nie wynika z tego, Ĺźe ciÄ g długości łamanych dÄ Ĺźy do długości tego odcinka. Dobra, ja juz sobie stÄ d idę, bo spać przez Ciebie nie mogłam :wink: Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 2 Wrz 2005, 11:29    Temat postu: music80s napisał: Mam niechęć do matematyki A ja mam niechęć do niechęci :jezyk: Ciekawe dlaczego masz niechęć do dziedziny nauki? To tak jakbyś miał niechęć do młotka. Bo matematyka jest narzędziem, dzięki ktĂłremu cała nasza technika jakoś działa. MoĹźna nie znać matematyki, moĹźna się niÄ nie interesować, ale "niechęć"? PrzecieĹź krzywdy Ci nie zrobiła? A jeśli miałeś złych nauczycieli, to napisz "mam niechęć do takiego a takiego nauczyciela". MoĹźesz teĹź mieć niechęć do ministra edukacji, ktĂłry wprowadził matematykę do szkół... A moĹźe tak na prawdę to wina tablicy szkolnej? MoĹźe moĹźna mieć niechęć do tablicy? Matematyka to nie osoba, więc krzywdy nikomu nie zrobiła _________________ CHCESZ WSPOMÓC FORUM ORAZ ICELAND.PL? WPŁAĆ DATEK! Powrót do góry Squallo Dołączył: 23 Sie 2005 Posty: 174 Skąd: Kielce Wysłany: 2 Wrz 2005, 13:20    Temat postu: Ech OdĹźajer, OdĹźajer... <No comments> :wink: Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 2 Wrz 2005, 14:15    Temat postu: Squallo napisał: Ech OdĹźajer, OdĹźajer... Ech Squallo, Squallo... :wink: CzyĹźby juĹź nie moĹźna było zapytać skÄ d wynika czyjaś niechęć do czegoś? MoĹźna nie lubić koloru niebieskiego, chudych panienek, lodĂłw pistacjowych... ale matematyki się nie je, nie robi się z niej ubrań, nie Ĺźeni się w końcu z niÄ ... Więc słowo niechęć sugeruje raczej stosunek do sposobu nauczania tejĹźe, a nie do samej dziedziny. Chcę to ustalić, bo podejrzewam, Ĺźe Music80s dokonał skrĂłtu myślowego, a moĹźe jednak rzeczywiście ma w sobie strasznÄ nienawiść do matematyki i ma swoje ku temu powody. Z ciekawości pytam więc o powody Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 2 Wrz 2005, 15:14    Temat postu: Joasia Chessek napisał: OdĹźajer czemu twĂłj nick gg to "Tomeq" ? Rozumiem, Ĺźe to jakiś zabroniony lub obraĹşliwy nick? A ja myślałam, Ĺźe Was fascynuje Islandia, a nie płeć jakiegoś forumowicza. Chyba założę serwis internetowy o OdĹźajerce, dam moĹźe trochę fotek (dla facetĂłw) i będę miała więcej gości niĹź ICELAND.PL :jezyk: Do tego dołożę forum, gdzie będzie moĹźna wymienić opinie na mĂłj temat, poplotkować w jakiej bieliĹşnie chodzę itd. :jezyk: Przypominam, Ĺźe to temat o MATEMATYCE, jesli ktoś chce się wypowiedzieć o OdĹźajerze, to proszę kliknÄ Ä‡ http://www.forum.iceland.pl/viewtopic.php?t=684 to jest temat o mnie i moĹźna mnie tam bluzgać do woli :krzywy: _____________ Dziewczyny rulez!! Powrót do góry Chessek Dołączył: 31 Lip 2005 Posty: 121 Skąd: ŁódĹş Wysłany: 2 Wrz 2005, 15:54    Temat postu: Nie po prostu ja mam na imię Tomek Mnie teĹź interesuje matematyka - podobnie jak inne dziedziny nauki. Pozdrawiam Powrót do góry Kamila Dołączył: 19 Wrz 2004 Posty: 40 Wysłany: 2 Wrz 2005, 17:34    Temat postu: ja juĹź z matematykÄ skonczyłam i mam nadzieję, Ĺźe nie będę się musiała z niÄ męczyć. dosyć mnie wymęczyła kochana nauczycielka z liceum (ta czarownica torturowała jeszcze mojego tatę ). w ogĂłle nie mam talentu do nauk ścisłych. czasami mocno przysiadałam nad podręcznikiem, Ĺźeby coś zrozumieć i choć naprawdę chciałam, to zazwyczaj nic z tego nie wychodziło i ksiÄ Ĺźka lÄ dowała na ścianie Powrót do góry Daniel Dołączył: 13 Kwi 2004 Posty: 116 Skąd: Katowice Wysłany: 3 Wrz 2005, 22:00    Temat postu: Wróćmy do ciekawostki OdĹźajera. PrzekÄ tna i "schodki" to dwie róşne rzeczy, co z resztÄ widać po ich całkowitych długościach . Cytat: Gdy będziemy tak łamać krzywÄ w nieskończoność to ciÄ gle będzie ona miała długość 2a, ale przecieĹź w nieskończoności taka drobno połamana krzywa staje się po prostu przekÄ tnÄ , ktĂłra ma jednak długość aV2 Twisted Evil Będzie wyglÄ dać, przypominać przekÄ tnÄ , ale przekÄ tnÄ nie będzie :wink: Cytat: Gdy schodki stajÄ się coraz mniejsze, to pole powierzchni pod "wypustkami" dÄ Ĺźy do zera (...) Przy nieskończonej ilości schodkĂłw, krzywa staje się teoretycznie prostÄ . Zgodnie z tym rozumowaniem dochodzimy do następujÄ cej sytuacji: gdy schodki stajÄ się coraz mniejsze, ich długość dÄ Ĺźy do zera, w tym wypadku, kiedy mamy do czynienia z zerowymi długościami czÄ stkowymi, całkowita długość odcinka składajÄ cego się z owych schodkĂłw jest sumÄ zer, czyli rĂłwnieĹź zerem. Wniosek z tego jest taki, Ĺźe sposĂłb rozumowania przedstawiony w ciekawostce jest błędny: ani przekÄ tna nie ma zerowej długości, ani schodki nie sÄ odcinkiem prostej :wink: Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 3 Wrz 2005, 22:39    Temat postu: Schodki Czy mam doczynienia z amatorem , czy teĹź moĹźe z jakimś jednak fachowcem? Bo nie jestem fachowcem, ale troszeczkę akademickiej matematyki dane mi było poznać.. Daniel napisał: PrzekÄ tna i "schodki" to dwie róşne rzeczy, co z resztÄ widać po ich całkowitych długościach Tak, ale my mĂłwimy o granicy (limes n --> inf). Cytat: Będzie wyglÄ dać, przypominać przekÄ tnÄ , ale przekÄ tnÄ nie będzie Jak to nie będzie? Gdy ilość schodkĂłw dÄ Ĺźy do nieskończoności, to właśnie powstała krzywa (granica) jest chyba przekÄ tnÄ ... WykaĹź, Ĺźe tak nie jest za pomocÄ matematycznego lub logicznego rozumowania Cytat: gdy schodki stajÄ się coraz mniejsze, ich długość dÄ Ĺźy do zera, w tym wypadku, kiedy mamy do czynienia z zerowymi długościami czÄ stkowymi, całkowita długość odcinka składajÄ cego się z owych schodkĂłw jest sumÄ zer, czyli rĂłwnieĹź zerem. Ewidentny bĹ‚Ä d rozumowania, bo skÄ d wiesz ile jest zero razy nieskończoność (zero to długość schodka, a nieskończoność to ilość schodkĂłw)? Cytat: Wniosek z tego jest taki, Ĺźe sposĂłb rozumowania przedstawiony w ciekawostce jest błędny No własnie, Ĺźe wniosek jest zupełnie poprawny, chyba, Ĺźe masz lepsze argumenty :jezyk: Cytat: schodki nie sÄ odcinkiem prostej Wychodzi na to, Ĺźe sÄ odcinkiem prostej, gdy ilośc schodkĂłw jest nieskończona... _________________ CHCESZ WSPOMÓC FORUM ORAZ ICELAND.PL? WPŁAĆ DATEK! Powrót do góry Daniel Dołączył: 13 Kwi 2004 Posty: 116 Skąd: Katowice Wysłany: 3 Wrz 2005, 23:10    Temat postu: Cytat: Czy mam doczynienia z amatorem , czy teĹź moĹźe z jakimś jednak fachowcem? Bo nie jestem fachowcem, ale troszeczkę akademickiej matematyki dane mi było poznać.. Jak narazie tylko studentem, matematyki akademickiej teĹź się poznało trochę. Cytat: Tak, ale my mĂłwimy o granicy (limes n --> inf). Tak granicy, ale granicy czego? Podaj wzĂłr funkcji jakÄ masz na myśli i będzie wszystko jasne :wink: PrzecieĹź wiemy, Ĺźe długość całych tych "schodkĂłw" jest niezmienna i rĂłwna 2a, więc w jaki sposĂłb zaleĹźy od n ? Cytat: Ewidentny bĹ‚Ä d rozumowania, bo skÄ d wiesz ile jest zero razy nieskończoność (zero to długość schodka, a nieskończoność to ilość schodkĂłw)? chytry Ale sam napisałeś, Ĺźe: Cytat: Gdy schodki stajÄ się coraz mniejsze, to pole powierzchni pod "wypustkami" dÄ Ĺźy do zera (...) Przy nieskończonej ilości schodkĂłw, krzywa staje się teoretycznie prostÄ . Czyli uznałeś, Ĺźe nieskończenie wiele pĂłl dÄ ĹźÄ cych do zera jest rĂłwna zero Cytat: Wychodzi na to, Ĺźe sÄ odcinkiem prostej, gdy ilośc schodkĂłw jest nieskończona... ysz No widzisz, dwa cytaty powyĹźej obaliłeś sam swojÄ teorię Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 3 Wrz 2005, 23:25    Temat postu: Matematyka Daniel napisał: Jak narazie tylko studentem, matematyki akademickiej teĹź się poznało trochę. To dobrze, bo przynajmniej mogę na luzie rozmawiać Cytat: Cytat: Tak, ale my mĂłwimy o granicy (limes n --> inf). Tak granicy, ale granicy czego? Podaj wzĂłr funkcji jakÄ masz na myśli i będzie wszystko jasne Nie kaĹźda funkcja ma swĂłj wzĂłr... a w naszym przypadku, to moĹźe właśnie znalezienie wzoru dałoby nam odpowiedĹş skÄ d bierze się paradoks... Cytat: PrzecieĹź wiemy, Ĺźe długość całych tych "schodkĂłw" jest niezmienna i rĂłwna 2a, więc w jaki sposĂłb zaleĹźy od n? No właśnie! StÄ d jest paradoks. Po prostu uprościłeś kwestię paradoksu, lecz nie znalazłeś jego przyczyny lub rozwiÄ zania :krzywy: Cytat: Czyli uznałeś, Ĺźe nieskończenie wiele pĂłl dÄ ĹźÄ cych do zera jest rĂłwna zero A widzisz, nie przyjrzałeś się dokładnie rysunkowi i nie dokonałeś obliczeń. O ile suma długości odcinkĂłw jest stała dla n --> inf o tyle pole powierzchni schodkĂłw (trĂłjkÄ cikĂłw pomiędzy krzywÄ a przekÄ tnÄ ) maleje z kaĹźdym krokiem. Dla n=1 (dwa boki kwadratu) pole to rĂłwna się 1/2a^2 Dla n=2 (4 schodki) suma pĂłl schodkĂłw P=1/4a^2 ... Tak więc dla n--> P=0 !! Cytat: No widzisz, dwa cytaty powyĹźej obaliłeś sam swojÄ teorię Nie obaliłem, to poprostu jest paradoks, a ja szukam rozwiÄ zania... Gdyby wszystko było jasne, to nie byłaby ciekawostka... :jezyk: Pogłówkuj trochę, choć wÄ tpię, byśmy tu dotarli do jakiegoś sensownego rozwiÄ zania bez fachowej pomocy kogoś wtajemniczonego w arkana matematyki... Prawdopodobnie rozwiÄ zaniem sÄ jakieś rĂłwnania z teorii fraktali, a te jak wiadomo, majÄ wymiar niecałkowity... _________________ CHCESZ WSPOMÓC FORUM ORAZ ICELAND.PL? WPŁAĆ DATEK! Powrót do góry Daniel Dołączył: 13 Kwi 2004 Posty: 116 Skąd: Katowice Wysłany: 3 Wrz 2005, 23:38    Temat postu: Cytat: Nie kaĹźda funkcja ma swĂłj wzĂłr... a w naszym przypadku, to moĹźe właśnie znalezienie wzoru dałoby nam odpowiedĹş skÄ d bierze się paradoks... ZaleĹźność długości naszych schodkĂłw od ilości podziałów moĹźe wyglÄ dać np. tak: l(n)=(a/n + a/n)*n gdzie: pierwsze a/n to długość pionowej składowej "schodka" drugie a/n to długość poziomej składowej "schodka" n to ilość podziałów boku a kwadratu Jeśli wykombinowałeś innÄ zaleĹźność, podaj jÄ W tym wypadku nijak długość nie zaleĹźy od liczby podziałów, czyli nic nowego, jest 2a i tyle. Cytat: A widzisz, nie przyjrzałeś się dokładnie rysunkowi i nie dokonałeś obliczeń. O ile suma długości odcinkĂłw jest stała dla n --> inf o tyle pole powierzchni schodkĂłw (trĂłjkÄ cikĂłw pomiędzy krzywÄ a przekÄ tnÄ ) maleje z kaĹźdym krokiem. Dla n=1 (dwa boki kwadratu) pole to rĂłwna się 1/2a^2 Dla n=2 (4 schodki) suma pĂłl schodkĂłw P=1/4a^2 No przyjrzałem się, i muszę stwierdzić, Ĺźe dla coraz większego n liczba trĂłjkÄ cikĂłw rĂłwnieĹź się zwiększa, zatem całkowite pole powierzchni wszystkich trĂłjkÄ cikĂłw jest stałe i niezaleĹźne od n Powrót do góry O.E. Opiekun Forum Dołączył: 03 Lut 2004 Posty: 2552 Skąd: Pl. Od Słońca 3/Europa Wysłany: 3 Wrz 2005, 23:44    Temat postu: Daniel napisał: ZaleĹźność długości naszych schodkĂłw od ilości podziałów moĹźe wyglÄ dać np. tak: l(n)=(a/n + a/n)*n Zgadza się... n się skrĂłci w tym wzorze. Cytat: No przyjrzałem się, i muszę stwierdzić, Ĺźe dla coraz większego n liczba trĂłjkÄ cikĂłw rĂłwnieĹź się zwiększa, zatem całkowite pole powierzchni wszystkich trĂłjkÄ cikĂłw jest stałe i niezaleĹźne od n Oj, to coś masz problemy z liczeniem... Ja podałem juĹź pole sumy(!) trĂłjkÄ cikĂłw, a nie pojedynczego schodka! W pierwszym kroku masz jeden trĂłjkÄ t o polu 0,5a^2 W drugim kroku masz 2 trĂłjkÄ ty, kaĹźdy po 0,125a^2 (w sumie 0,25a^2) Tak więc z kaĹźdym krokiem pole się zmniejsza. Nawet nie trzeba znać matematyki - gołym okiem widać, Ĺźe po kaĹźdym kroku zostaje "wolne" miejsce, a pole zajmowane przez schodki jest coraz mniejsze. Napisz wzĂłr to się przekonasz _________________ CHCESZ WSPOMÓC FORUM ORAZ ICELAND.PL? WPŁAĆ DATEK! Powrót do góry Daniel Dołączył: 13 Kwi 2004 Posty: 116 Skąd: Katowice Wysłany: 3 Wrz 2005, 23:54    Temat postu: Rzeczywiście, z polami trĂłjkÄ cikĂłw pogubiłem się Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum Islandia :: Forum ICELAND.PL Strona Główna -> Off-topic Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Idź do strony 1, 2, 3, 4, 5  Następny Strona 1 z 5   Skocz do: Wybierz forum UWAGA----------------WaĹźne ogłoszenie! OD ICELAND.PL----------------PrzeglÄ d prasy ISLANDIA DLA ISLANDOFILÓW----------------IslandologiaTurystykaKulturaJęzykWierzenia islandzkieEdukacjaNewsy4x4Róşności dla IslandofilĂłwIslandofilska giełdaIcelandForum IslandofilĂłwBusem na Islandię 2014 [SPONSOROWANE]Akcja Bajkowa Islandia Towarzystwo PrzyjaĹşni Polsko-Islandzkiej (TPPI)----------------Sprawy TPPI PRACA I ĹťYCIE NA ISLANDII----------------WOŚP 2011Jak wyglÄ da praca na IslandiiĹťycie na IslandiiIslandzka PoloniaPozostałe tematyBar Polonia - Forum SponsorowaneSportPosługa religijna i duchowa OGŁOSZENIA DROBNE----------------ZASADY I REGUŁY ZAMIESZCZANIA OGŁOSZEŃSPRZEDAMKUPIĘ / SZUKAMODDAM W WYNAJEM = WYNAJMĘ COŚ KOMUŚSZUKAM DO WYNAJĘCIA = WYNAJMĘ COŚ OD KOGOŚSZUKAM PRACYDAM PRACĘODDAM ZA DARMOOGŁOSZENIA TOWARZYSKIEINNE OGŁOSZENIA INNE----------------Off-topicDeliriumICELAND.PL & ForumPOCZEKALNIA NOWYCH WĄTKÓW  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach SIGN PETITION FOR TRAVELLING WITH PETS ON ICELAND! Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group Igloo Theme Version 1.0 :: Created By: Andrew Charron